Considerando a distribuição normal, temos

• no caso univariado, uma média (\(\mu\)) e uma variância (\(\sigma^2\)), totalizando dois parâmetros,

• no caso \(p\)-variado, \(p\) médias, \(p\) variâncias e \(\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right)\) covariâncias, totalizando

\[p + p +\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right) = \dfrac{1}{2} p(p+3)\]

parâmetros.

Além disso, podemos estar interessados em testar hipóteses sobre subconjuntos desses parâmetros, ou ainda, sobre funções deles.

1. Usar \(p\) testes univariados inflaciona o erro tipo I, \(\alpha\), enquanto o teste multivariado preserva o valor exato de \(\alpha\).

• Por exemplo, se fizermos \(p = 10\) testes univariados ao nível \(\alpha = 0,05\), a probabilidade de pelo menos uma falsa rejeição é maior que 0,05.
  • Se as variáveis forem independentes, teríamos, sob \(H_0\):

\[\begin{eqnarray*} P(\text{pelo menos uma rejeição}) &=& 1 - P(\text{todos os 10 testes não rejeitarem } H_0) \\ &=& 1 - (0,95)^{10} = 0,40 \end{eqnarray*}\]

👉 Se as variáveis não forem independentes, teríamos \(0,05 < \alpha < 0,40\)

2. Os testes univariados ignoram completamente as correlações entre as variáveis.

3. Os testes multivariados são mais poderosos em muitos casos.

• Poder de um teste: probabilidade de rejeitar \(H_0\), quando esta é realmente falsa.

4. Muitos testes multivariados envolvendo médias têm como subproduto a construção de uma combinação linear das variáveis que revela mais sobre como as variáveis se unem para rejeitar a hipótese.