👉 Os testes de hipóteses em um contexto multivariado são muito mais complexos do que num contexto univariado.
Considerando a distribuição normal, temos
no caso univariado, uma média (\(\mu\)) e uma variância (\(\sigma^2\)), totalizando dois parâmetros,
no caso \(p\)-variado, \(p\) médias, \(p\) variâncias e \(\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right)\) covariâncias, totalizando
\[p + p +\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right) = \dfrac{1}{2} p(p+3)\]
parâmetros.
Por exemplo, para \(p = 10\), temos
\[\dfrac{1}{2} p(p+3) = \dfrac{10(10+3)}{2} = \dfrac{130}{2} = 65\]
parâmetros, para cada um dos quais uma hipótese poderia ser formulada.
Além disso, podemos estar interessados em testar hipóteses sobre subconjuntos desses parâmetros, ou ainda, sobre funções deles.
🤔 Por que utilizar testes multivariados ao invés de testes univariados?
\[\begin{eqnarray*} P(\text{pelo menos uma rejeição}) &=& 1 - P(\text{todos os 10 testes não rejeitarem } H_0) \\ &=& 1 - (0,95)^{10} = 0,40 \end{eqnarray*}\]
👉 Se as variáveis não forem independentes, teríamos \(0,05 < \alpha < 0,40\)
🤔 Por que utilizar testes multivariados ao invés de testes univariados?
Num primeiro momento, vamos revisar o caso univariado de se testar a média, \(\mu\), de uma população com \(\sigma^2\) conhecido.